相手方に宛てた手紙の内容が引用されているだけで，何をお尋ねになりたいのか分かりません。以下質問の趣旨を善解して回答します。
駅に限らず建物内外の水濡れ，水たまりで足を滑らせて転んでけがをする事故は珍しくありません。
不特定多数人が利用する場所では，その安全管理の瑕疵（なすべき管理の懈怠）がなかったかどうかが問われます。
本件では，水濡れが転倒の原因か，鉄道側は水濡れが発生することを予見できたか，予見できたとして転倒防止のためにどのような措置が可能であったか，当該可能な措置は取られていたか，というような問題をひとつひとつ解明する必要があります。
一般の道路が雨で濡れていたために滑ったからといって道路管理者に損害賠償請求できるかといえば，普通の水濡れ，水たまりでは困難でしょう（構造上の欠陥があれば別です。）。道路に水たまりができるのは不可避であり，その全てを発見し排水や危険警告表示をするのは不可能だからです。むしろ道路はそのようなものという前提で，利用者に注意が期待されているといえます。
本件事故発生場所は駅のホームということです。建物内部と屋外の広場や道路との中間のような場所であり，屋根がある場所でも水たまりができるのは不可避で誰にでも予見可能であるとともに，水たまりの除去その他の危険防止措置の可能性があるのかどうかが問題になります。従って，安全管理について瑕疵があるかどうかは更に慎重な検討が要求されます。
ホームに駅員がいなかったのがどのような理由によるのか，同じ場所で以前にも転倒事故がなかったかなども問題になるでしょう。
息子さんがご自分で水濡れ箇所で足を滑らせたのか，乗客に押されて倒れたのかは直接関係ありません。
この種の事故では息子さんにも過失が認められて賠償額が減額されることがあります（過失相殺）。
経験上，一般に鉄道会社は自社の責任を認めません。駅というのは多くの法律上の根拠のないクレームが多いため，調停も含め，任意の支払はよほど責任が明白な場合でないと認めません。

私は手首の静脈から採血する最中に痛みを感じ，これが治らず，重篤なRSDという神経の後遺障害を負った患者さんの医療過誤訴訟を行った経験がありますが，皮下の細い末梢神経の位置を事前に知ることは現在の医療水準では困難で過失はないという裁判所の判断の結果，判決は断念し和解による解決を受け容れた経験があります。つまり，請求は認められないが，気の毒なので幾らかお支払いしましょうという話です。同様の理由で請求を認めなかった裁判例もございます。
私の扱った事案では，肘の内側ではなく手首の親指側の触るとぐりっとする骨の付近からの採血で，少々事情が異なりはします。
しかし，常に認められないかというとそうではなく，採血の仕方や採血時の状況が異なれば認められることもあります（認めた判決もあります。）。
また，医療事故の場合は，行為者の過失だけでなく，採血の際，注射針で神経損傷が起きたのか（過失行為と神経損傷の因果関係），発症した症状は神経損傷によるものか（神経損傷と症状の因果関係）も問題になります。本件の場合，左腕が伸ばせなくなったのが採血の一週間後であるということから，因果関係も争われるであろうと思います。
診断書の記載も，一種の推定による診断ですのでこれで証明十分とは言えません。
従って，お答えとしては，損害賠償請求として慰謝料や休業損害の請求ができるかどうかは直ちに回答することはできないというほかありません。採血前の状況から始まって症状発生までの事実関係を精査した上で，専門家（医師）の意見を聞く必要があります。
なお，参考までに申しあげますと，医療機関はたいてい医療事故による損害賠償について損害保険に入っています。そして，この保険会社が保険事故（医療機関の責任による事故）であると認めない限り保険金が下りないため，医療機関も保険会社の意見に従うのが通常であり，任意の示談や，調停で何らかの支払を受けるのは困難かと思われます。もっとも責任は否定していても，お見舞い金程度は解決金として支払いますということはありますので，本件もその可能性はないとはいえません（もしかしたら治療費が見舞金替わりということかもしれませんが。）
十分なお答えとは思いませんが，ご参考まで。